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Lotería primitiva. Probabilidad de acertar 6 números.
Matemáticamente, la probabilidad de
que se acierten los seis números de la primitiva, es un problema simple de
combinatoria. El número de posibilidades distintas a la hora de tomar seis
números de un bombo de cuarenta y nueve, sin tener en cuenta el orden se define
con la fórmula de Combinaciones de 49 elementos tomados de 6 en 6.
El desarrollo matemático de esta fórmula es:
C496 = 49! / (
6! * (49-6)! ) =
49 * 48 * 47 * 46 * 45 * 44 / ( 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
Esto puede explicarse desarrollando paso a paso las posibilidades de acertar
cada uno de los números del bombo.
Queremos saber qué probabilidades tenemos de acertar los seis números que se
seleccionan de entre los cuarenta y nueve del bombo. Acertar seis números supone
acertar el primero, el segundo, el tercero, el cuarto, el quinto y el sexto
número que se seleccionen.
Primer número.
Al principio del sorteo, en el bombo hay 49 números. En el boleto tenemos
seleccionados seis. Sale un número del bombo. Tenemos seis probabilidades
(tantas como números seleccionados) entre 49 (tantas como bolas hay en el bombo)
de acertar.
Probabilidad de acertar el primer número: 6 / 49
Segundo número.
Si hemos acertado el primer número, en nuestro boleto quedan cinco números sin
asignar. En el bombo, quedan 48 bolas, puesto que hemos sacado ya la primera.
Sale la segunda bola del bombo. En este caso, tenemos cinco probabilidades entre
48 de acertar el segundo número.
Probabilidad de acertar el segundo
número habiendo acertado el primero: 5 / 48
Probabilidad de acertar los dos primeros números: (6/ 49) * (5 / 48) = (6*5) /
(49*48)
Tercer número.
Si hemos acertado los dos primeros números, en nuestro boleto quedan cuatro
números sin asignar. En el bombo, quedan 47 bolas. Cuando sale la tercera bola
del bombo, tenemos cuatro probabilidades entre 47 de acertar el tercer número.
Probabilidad de acertar el tercer
número habiendo acertado los dos primeros: 4 / 47
Probabilidad de acertar los tres primeros números: (6/ 49) * (5 / 48) * (4 / 47)
= (6*5*4) / (49*48*47)
Habiendo visto el proceso para calcular la probabilidad de acertar los tres
primeros números, los siguientes son fáciles de calcular.
Cuarto número.
Si hemos acertado los tres primeros números, en nuestro boleto quedan tres
números sin asignar. En el bombo, quedan 46 bolas. Cuando sale la cuarta bola
del bombo, tenemos tres probabilidades entre 46 de acertar el cuarto número.
Probabilidad de acertar el cuarto
número habiendo acertado los tres primeros: 3 / 46
Probabilidad de acertar los cuatro primeros números: (6/ 49) * (5 / 48) * (4 /
47) * (3 / 46) = (6*5*4*3) / (49*48*47*46)
Quinto número.
Habiendo acertado los cuatro primeros números, en nuestro boleto quedan dos
números sin asignar. En el bombo, quedan 45 bolas. Cuando sale la quinta bola
del bombo, tenemos dos probabilidades entre 45 de acertar el quinto número.
Probabilidad de acertar el quinto
número habiendo acertado los cuatro primeros: 2 / 45
Probabilidad de acertar los cinco primeros números: (6/ 49) * (5 / 48) * (4 /
47) * (3 / 46) * (2 / 45) = (6*5*4*3*2) / (49*48*47*46*45)
Sexto número.
Si hemos acertado los cinco primeros números, en nuestro boleto quedará
únicamente un número sin asignar de los seis iniciales. En el bombo, quedan 44
bolas. Cuando sale la sexta bola del bombo, tenemos una probabilidad entre 44 de
que coincida con nuestro número.
Probabilidad de acertar el sexto
número habiendo acertado los cinco primeros: 1 / 44
Probabilidad de acertar los seis números de la primitiva: (6/ 49) * (5 / 48) *
(4 / 47) * (3 / 46) * (2 / 45) * (1 / 44) = (6*5*4*3*2*1) / (49*48*47*46*45*44)
= 1 entre 13983816