Introducción

La cuadratura del círculo es un problema matemático de geometría que es irresoluble, 
consiste en hallar con regla y compás un cuadrado con el área igual a la de un círculo dado

El interés de cuadrar superficies curvilíneas surgió con los griegos. Pero esta posibilidad no habría 
parecido tan plausible a los griegos de no haber sido por el hecho de que Hipócrates de Quíos demostró 
que ciertas figuras curvilíneas (lúnulas) construidas a propósito por él podían cuadrarse. Este hecho creó una falsa
expectativa entre los matemáticos de la antigüedad, llevándoles a pensar que podría cuadrarse el círculo.


Cuadratura de la lúnula

Formada por dos círculos, el diámetro de uno de los cuales es uno de los lados del cuadrado inscrito en el primero de ellos.
Tal y como demostró, el área de la lúnula es la cuarta parte del cuadrado inscrito, que corresponde a un triángulo.
La cuadratura del triángulo ya era conocida, con lo que cuadrar la lúnula (es decir mediante regla y compás) era posible.




Cuadratura del círculo



Siendo pi*r^2, el área del círculo y b^2, el área del cuadrado, donde r, y b, son el radio del círculo y el lado
del cuadrado respectivamente, se observa que, para el cuadrado de área igual a la del círculo, b = r*pi^(1/2).
En otras palabras, el radio del círculo y el lado del cuadrado son proporcionales, siendo pi^(1/2) el factor de proporción.



Esto implica que, si es posible cuadrar el círculo, se puede obtener pi^(1/2) con regla y compás, es decir,
se podría obtener pi^(1/2) por medio de operaciones algebráicas. Sin embargo, los números irracionales
son un subconjunto de los números reales que se caracterizan, entre otras cosas, precisamente por no ser
obtenibles a partir de tales operaciones. Si pi, es un número irracional, como demostró Lindemann, pi^(1/2)
también lo es. De aquí la imposibilidad de cuadrar el círculo a la manera griega.


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