composición de funciones
Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f)(x) = g[ f(x)] .
La función (g o f)(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».
| R | f -- ® |
R | g -- ® |
R |
x ® f(x) ® g.[f(x)]
Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).
Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x ².
Calcular g o f y la imagen mediante esta función de 1, 0 y -3.
Resolución:
- (g o f)(x) = g.[f(x)] = g.[(x + 3)] = (x + 3) ²
| R | f -- ® |
R | g -- ® |
R |
x ® f(x) = x + 3 ® g.[f(x)] = g.(x + 3) = (x + 3) ²
- La imagen de dos números 1, 0, -3, mediante la función g o f es:
(g o f)(1) = g.[f(1)] = g.(1 + 3) = g.(4) = 4 ² = 16
(g o f)(0) = g.[f(0)] = g.(0 + 3) = g.(3) = 3 ² = 9
(g o f)(-3) = g.[f(-3)] = g.(-3 + 3) = g.(0) = 0 ² = 0
Dadas las funciones f(x) = x ² + 1, y g(x) = 3x - 2, calcular:
a) (g o f) (x)
b) (f o g) (x)
c) (g o f) (1) y (f o g) (-1)
d) El original de 49 para la función g o f.
Resolución:
a) La función g o f está definida por:
| R | f -- ® |
R | g -- ® |
R |
x ® f(x) = x ² + 1 ® g.[f(x)] = g.(x ² + 1) = 3.(x ² + 1) - 2 = 3.x ² + 3 - 2 = 3.x ² + 1
b) La función f o g está definida por:
| R | g -- ® |
R | f -- ® |
R |
x ® g(x) = 3.x - 2 ® f.[g(x)] = (3.x - 2) ² + 1 = 9.x ² + 4 - 12.x + 1 = 9.x ² - 12.x + 5
Obsérvese que g o f ≠ f o g.
c) Aplicando los resultados de los apartados anteriores:
(g o f)(1) = 9.1 ² - 12.1 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2
(g o f)(-1) = 9.(-1) ² - 12.(-1) + 5 = 9 + 12 + 5 = 26
d) El original de 49 para la función g
o f será un número x, tal que (g o f)(x) = 49.
(g o f) (x) = 3 x ² + 1 = 49. Basta con resolver esta ecuación.