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Existe un famoso
pasatiempo matemático, los cuadrados mágicos. Estos conforman una
cuadrícula de 3 x
3,
o de 4
x 4,
o de 5
x 5
o, en general, de n
x n,
en la que se acomodan ciertos números que cumplen que la suma de
cualquier renglón, la suma de cualquier columna y la suma de cualquiera
de cualquiera de las dos diagonales es siempre la misma. En general, si
el cuadrado es de n
x n,
entonces tendrá n cuadrada casillas y los números que acomodaremos en él
serán del 1
a n²..,
aunque también existen versiones que no cumplen esta característica.
Estos trucos te serán muy útiles en su
resolución:
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¿Cuál
es la constante del cuadrado? |
Si el
cuadrado no se conoce, una manera es sumar todos los números
que se colocarán en el cuadrado y dividir el resultado entre
el orden de éste.
Otra
manera de calcular la constante de un cuadrado mágico es
acomodar en la cuadrícula los números que se van a utilizar
en su orden natural (no en forma de cuadrado mágico) y sumar
los números de cualquiera de las diagonales; el resultado
será la constante mágica de ese cuadrado.
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Algunos métodos
de construcción: |
-Con n como múltiplo de 4:
1.Se dispone el cuadro como la figura de la
derecha.
2. Los números no "tocados" por las X (en negro
en la figura) quedarán en las casillas en que se encuentran, mientras
que los "tocados" por las X, serán movidos. La forma de hacer ese
movimiento es simetrizar con respecto al centro del cuadrado total los
números "tocados" o, lo que es igual, invertir el orden en que han sido
colocados en el cuadrado. La figura de la izquierda muestra cómo hacerlo
en nuestro caso, lo que da el cuadrado mágico ya construido.
-Con n
impar:
1 . Coloque
el número 1 en la casilla del medio de la fila superior.
2 . Para
colocar el número siguiente, desplácese una casilla hacia arriba y una
hacia la derecha. Si el número que intenta colocar queda fuera del
cuadrado, recuerde que debe considerar unidos los bordes de éste.
Continúe aplicando este paso hasta que se encuentre con que no puede
colocar el número correspondiente porque en la casilla que va ya hay un
número.
3 . Si al
intentar colocar un número con la regla anterior se encuentra con que no
puede hacerlo debido a que la casilla en que iría está ocupada, entonces
colóquelo en la casilla que está inmediatamente abajo de la del último
número que colocó.
4 . Complete
el cuadrado aplicando la regla B, y cuando no pueda hacerlo, aplique la
regla C.
-Con n par no divisible por 4 el proceso es
algo más complicado, si tienes curiosidad consulta el siguiente enlace:
http://www.geocities.com/cuadradosmagicos/lux.htm
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¿Cuántos
cuadrados de cada orden existen? |
De orden 3 hay esencialmente sólo 1
cuadrado mágico.
Para los de orden 4
Frenicle De Bessy estableció en 1693 que existen
880 cuadrados mágicos. Más adelante se ha
demostrado que existen 275305224 cuadrados
mágicos de orden 5. Para órdenes más grandes
sólo se tienen estimaciones.
Para órdenes más pequeños
es bastante sencillo: para orden uno sólo existe
un cuadrado mágico: el formado únicamente por el
número 1. Y para orden 2 no existe ningún
cuadrado mágico.
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1037956284
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1036947285
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1027856394
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1026847395
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1026857394
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1027846395
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1036957284
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1037946285
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1036847295
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1037856294
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1026947385
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1027956384
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1027946385
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1026957384
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1037846295
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1036857294
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http://www.profes.net/rep_documentos/Monograf/ResolucionCM.PDF
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